Стохастические игры

В последние три десятилетия наблюдается стремительное повышение интереса к теории игр, которая, с одной стороны, наряду с математическими моделями общего равновесия и теорией социального выбора, сыграла ключевую роль в создании современной экономической теории, а с другой, является одним из важнейших инструментов анализа огромного многообразия задач, возникающих не только в экономике, но и в политике, социальных науках, военном деле, биологии и др.

Развитие теории игр, изучение ее методов и их применение в практике народно-хозяйственной деятельности оказывает помощь в совершенствовании системы подготовки и принятия решений, способствует научно-техническому прогрессу.

Игра характеризуется системой правил, определяющих количество участников игры, их возможные действия и распределение выигрышей в зависимости от их поведения и исходов. Цель теории игр - это выработка рекомендаций по рациональному образу действий каждого из противников в ходе конфликтной ситуации. По количеству ходов игры делятся на одношаговые и многошаговые. К многошаговым относятся такие игры, в которых хотя бы один из игроков делает больше одного хода. Основное преимущество - может быть бесконечно много шагов (ходов). Один из видов многошаговых игр в данной расчетно-графической работе мы рассмотрим.

Целью данной работы является разработка программного средства для решения стохастических игр.

Объект исследования - стохастическая игра «Герб - Решетка»

Предмет изучения - теоретические аспекты и расчетные метод решения стохастических игр.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

изучить теорию по стохастическим играм;

решить игру «Герб - Решетка» расчетным путем;

разработать и протестировать программное средство для решения стохастических игр на примере игры «Герб - Решетка»

стохастический игра программный

Стохастические игры

Разновидностью многошаговых игр являются стохастические игры, в которых имеется несколько игровых позиций, и переход от одной позиции к другой совершается с определенной вероятностью. В правилах игры предусматриваются выигрыши на каждом шаге игры. Таким образом, в стохастической игре возможны возвращения к предшествующей позиции и теоретически возможно бесконечное продолжение игры и бесконечно большой выигрыш. Однако, чтобы исключить такую возможность, в правилах игры предусматривается задание таких переходных вероятностей, что бесконечное продолжение игры может быть с вероятностью нуль, а математическое ожидание выигрыша конечно.

Игра разыгрывается в течение ряда этапов. В начале каждого этапа игра находится в некотором состоянии. Игроки выбирают свои действия и получают выигрыши, зависящие от текущего состояния и действий. После этого система переходит случайным образом в другое состояние, распределение вероятности переходов зависит от предшествующего состояния и действий игроков.

Эта процедура повторяется в течение конечного или бесконечного числа шагов. Общий выигрыш игроков часто определяется как дисконтированная сумма выигрышей на каждом этапе или нижний предел средних выигрышей за конечное число шагов.

При конечном числе игроков, конечных множествах действий и состояний игра с конечным числом повторений всегда имеет равновесие Нэша.

Это справедливо также для игр с бесконечным числом повторений, если выигрыши участников представляют собой дисконтированную сумму. Участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения. Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша в игре Курно.