Типовая задача оптимизации

Задача 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка - "Лимонад" и "Тоник". Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л "Лимонада" требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л "Тоника" - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л "Лимонада" и "Тоника" соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,1 ден. ед. за 1 л "Лимонада" и 0,3 ден. ед. за 1 л "Тоника". Сколько продукции каждого вида следует производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение:

Составим ЭММ задачи:

В рамках заданных ограничений фирма должна принять решение о том, какое количество каждого вида напитков следует выпускать. Пусть x1 - число литров Лимонада, производимое за день. Пусть x2 - число литров Тоника, производимое за день.

Определение цели и ограничений. Цель состоит в максимизации ежедневного дохода. Пусть F(x) = 0,1x1 + 0,3x2 (max) - ежедневный доход, ден. ед. Он максимизируется в рамках ограничений на количество часов работы оборудования и наличие специального ингредиента. Это целевая функция задачи - количественное соотношение, которое подлежит оптимизации.

Существуют следующие ограничения на производственный процесс:

Время работы оборудования. Для производства х1 литров Лимонада и х2 литров Тоника требуется: (0,02 х1 + 0,04 х2) часов работы оборудования ежедневно. Максимальное время работы оборудования в день составляет 24 ч, следовательно, объем производства должен быть таким, чтобы число затраченных часов работы оборудования было меньше либо равно 24 ч ежедневно. Таким образом,

,02 х1 + 0,04 х2£ 24 ч/день.

Специальный ингредиент. Производство х1 литров Лимонада и х2 литров Тоника требует (0,01 х1 + 0,04 х2) кг ингредиента ежедневно. Максимальный расход ингредиента составляет 16 кг в день, следовательно, объем производства должен быть таким, чтобы требуемое количество специального ингредиента составляло не более 16 кг в день. Таким образом,

,01 х1 + 0,04 х2 £ 16 кг/день.

Окончательная формулировка задачи линейного программирования имеет следующий вид:

(x) = 0,1x1 + 0,3x2 (max)

,02 х1 + 0,04 х2 ≤ 24

,01 х1 + 0,04 х2 ≤ 16

х1, х2 ≥ 0

Ограничения задачи можно изобразить графически.

Время работы оборудования:

,02 х1 + 0,04 х2 ≤ 24 ч/день.

Проведем прямую

,02 х1 + 0,04 х2 = 24

Простейшим способом нанесения прямой на график является нахождение точек пересечения данной прямой с осями координат х1 и х2. Подставив х1 = 0 в уравнение и рассчитав значение х1, получим, что при х1 = 0, х2 = 600. Подставив х2= 0 в уравнение и рассчитав значение х1, получим, что при х2 = 0 х1 = 1200. Нанесем эти две точки на график и соединим их прямой. Для определения области, которую следует заштриховать, подставим х1= 0 и х2 = 0 в неравенство: 0,02 х1 + 0,04 х2 ≤ 24

Специальный ингредиент: 0,01 х1 + 0,04 х2 ≤ 16

Проведем прямую: 0,01 х1 + 0,04 х2 = 16

Таким же образом, подставив х1 = 0 в уравнение и рассчитав значение х1, получим, что при х1 = 0, х2 = 400. Подставив х2= 0 в уравнение и рассчитав значение х1, получим, что при х2 = 0 х1 = 1600. Нанесем эти две точки на график и соединим их прямой. Для определения области, которую следует заштриховать, подставим х1= 0 и х2 = 0 в неравенство: 0,01 х1 + 0,04 х2 ≤ 16

Область, отмеченная серым цветом - это допустимое множество,

которое содержит все возможные сочетания объемов производства, удовлетворяющие данным ограничениям. Координаты любой точки, принадлежащей допустимому множеству, являются возможным сочетанием объемов производства двух видов напитков, выпускаемых фирмой.

Решим систему уравнений